Der Golden Section Det er en irrasjonelt tallangitt med det greske brevet φsom er verdt omtrent 1,618 og tilsvarer forholdet som to lengder må ha for at den større lengden og summen av de to lengdene skal være i samme forhold. Det finnes spontant i naturen og er ofte assosiert med estetisk skjønnhet, men fra et rent matematisk synspunkt er det spesielt fordi det blir vurdert det mest irrasjonelle av alle irrasjonelle tall. Matematikere viser med det greske brevet φog som svarer på følgende geometriske spørsmål
Hvis vi trenger å dele et segment langt 1 i to deler slik at hele segmentet er til den større delen som den større delen er til den mindre delen. Hvor lenge skal den store delen være? Det vil si hvor mye skal forholdet (divisjonen) mellom de to delene være verdt?
Løsningen på dette problemet blir funnet ved å løse en andre grads ligning fra andelen «1: φ = φ: (1-φ)«Og det er et tall som er beregnet med brøk og firkantede røtter (se figur over). Hvis vi skriver dette nummeret i desimalform, får vi
φ = 1.6180339887 …
der prikkene indikerer det sifrene etter desimalpunktet er uendelig og følg hverandre på en uregelmessig måte: det er faktisk en irrasjonelt tall som ikke kan skrives med en endelig eller periodisk desimalrepresentasjon.
La oss prøve å forstå bedre,
de rasjonelle tall Det er alle de tallene som De kan skrives som en brøkdelmed heltall teller og nevner, uten komma.
For eksempel ¾ og ⅓ er rasjonelle tall mens Gylden forhold er ikkedet sies i stedet at det er irrasjonelt fordi på grunn av den kvadratroten av 5 som brukes til å beregne den (se figur over),
de Irrasjonelle tall kan ikke skrives som en brøkdel med heltall teller og nevner.
Når vi prøver å skrive et rasjonelt nummer i desimalform, er det bare to muligheter:
- Desimaltallet har en begrenset mengde sifre etter desimalpunktetfor eksempel ¾ = 0,75 har nøyaktig to sifre etter desimalpunktet
- eller Desimaltallet er periodiskdet vil si at den har ett eller flere sifre som alltid gjentas det samme, for eksempel ⅓ = 0.3333 … med sifferet 3 gjentar uendelig, så selv om vi ikke kan skrive alle sifrene, vet vi at de alle er verdt 3
Tvert imot, den desimalform av et irrasjonelt tallsom Golden Sectionpresenterer en uendelig antall sifre etter desimalpunktet At De følger hverandre på en uregelmessig måteuten perioder, og det er ikke mulig å kjenne dem alle: prøver på det meste å beregne så mange sifre som mulig, som skjer for de mest berømte av irrasjonelle tall, den pisom det er en oversikt over kjente figurer som fra tid til annen oppdateres.
Søket etter sifrene som er etter desimalpunktet for et irrasjonelt antall kan ta mer eller mindre tid, og i tilfelle av den gyldne seksjonen tar dette søket mye tid, og det er derfor det blir vurdert mer irrasjonell av PI og alle andre irrasjonelle tall.
Men hvordan ser du etter (og kanskje finne!) Sifrene i et irrasjonelt tall som φ? En mulighet er å bruke fortsatte brøken spesiell måte å representere tall som kan brukes til å beregne tilnærminger av irrasjonelle tall. La oss se hva det handler om.
En fortsatt brøkdel består av et tall lagt til en brøkdel med teller 1 og nevner som igjen inneholder et tall lagt til en annen brøkdel hvis nevner kan igjen inneholde et tall lagt til en brøkdel, og så videre.
I figuren nedenfor har vi rapportert de fortsatte fraksjonene knyttet til tallene 5/3, 3/5 og 225/157.
Tallene vi har vurdert er alle rasjonelle tall, og deres fortsatte brøk er endelige:
Hvert rasjonelt tall kan være representert med en endelig fortsatt brøkdel.
Når det gjelder irrasjonelle tallHver gang vi ser ut til å ha funnet den siste lille brøkdelen i bunnen, innser vi imidlertid at dette igjen inneholder en sum mellom et tall og en ny brøk:
Irrasjonelle tall kan ikke representeres ved endelige fortsatte fraksjoner, men bare ved uendelig fortsatte brøk.
Når det gjelder det spesifikke tilfellet av Golden Section Den fortsatte brøkdelen inneholder bare de, som sett på figuren nedenfor.
Denne brøkdelen er ikke bare en koreografert måte å skrive det gyldne forholdet på, den kan også brukes til å slå opp de omtrentlige verdiene. Dette kan gjøres ved å avkortes den fortsatte brøkdelen, eller ved å erstatte den uendelige serien med brøk fra et visst nivå og fremover med 1. I figuren nedenfor gjorde vi det på tredje nivå og oppnådde tallet som en tilnærming 3/2 = 1,5 Noe som ikke er en stor tilnærming gitt at bare figuren «1» før desimalet er lik det for det gyldne forholdet.
I figuren nedenfor kan du se hvordan tilnærmingen stopper på 6. nivå 13/8 = 1.625 som bare deler tallene med det gyldne forholdet 1.6.
Ved å bruke denne prosedyren, viser de første tilnærmingene av φ å være i rekkefølgen 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, som tilnærmer seg tallet til sifrene 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5. Disse er disse er tilnærminger som de er bedre.
Den samme prosedyren kan brukes til å tilnærme et hvilket som helst irrasjonelt antall som starter fra dens algebraiske fraksjon, og gradvis oppnå bedre og bedre tilnærminger. Problemet Med den gylne delen er at denne tilnærmelsesprosessen er veldig tregmye tregere enn hva som skjer for noe annet tall, og det er derfor det regnes som det mest irrasjonelle antallet av allefordi det er så langt fra å være rasjonell at det tar mye tid å tilnærme det med sin fortsatte brøkdel, mer enn det tar for noe annet irrasjonelt antall.
