Hva er imaginære tall? De er de tallene som, når de kvadreres, gir et negativt resultat. Disse tallene utgjør sammen med de reelle tallene komplekse tall og hvis det virker rart for deg at kvadratet til et tall kan være negativt, er du i godt selskap: imaginære tall, brukt for første gang på 1500-tallet av Cardan å løse likninger ved å utvide settet med reelle tall og fås ved å multiplisere et reelt tall medimaginær enhetangitt med bokstaven deble de fullt ut akseptert som tall først på 1800-tallet. La oss se hvordan disse tallene fungerer, hvorfor de ble oppfunnet og når de ble fullt ut akseptert av matematikere.
Hva de er og når et tall er imaginært
Hva er kvadratroten av 4? Det er lik 2, siden kvadratet av 2 er 2 × 2 = 4. Og kvadratroten av 9? Det er verdt 3 siden 3 × 3 = 9. Men hva er kvadratroten av det negative tallet -1? Vi kan anta at det er -1, men hvis vi prøver å multiplisere -1 × -1 får vi 1, og det samme skjer hvis vi prøver samme operasjon med 1.
Så mye som vi prøver, kan vi ikke finne et tall som når det er kvadratisk gir hvordan resultat -1eller et hvilket som helst annet negativt tall, dette er fordi, etter tegnregelen, men vi multipliserer et tall med seg selv, vil resultatet bli alltid positiv.
På dette tidspunktet kommer en oppfinnelse av matematikere til hjelp, nemlig imaginært tall de som skylder navnet sitt til matematikeren Euler fra 1700-tallet definert som:
det tallet som når det kvadreres er -1, altså de × de = -1med andre ord de det er der kvadratroten av -1.
Med utgangspunkt i dette nummeret vil imaginære tall som er alle de
tall som ved kvadrat gir resultatet et negativt reelt tall – dvs. et desimaltall.
Disse tallene kan konstrueres ut fra tallet de multiplisere det med alle mulige reelle tall. For eksempel 2de (som ville være 2 × i), 3de, -5de, 2.7de de er alle imaginære tall.
La oss se hva som skjer hvis vi prøver å beregne kvadratet til ett av disse tallene ved å bruke de vanlige operasjonsreglene:
2de ×2de = 2 × de × 2 × de = 2 × 2 × de × i = 4 × de × de = 4 × (-1) = -4
Som vi kan se kvadratet av 2de er -4, så kvadratroten av -4 er faktisk 2de.
Operasjoner mellom disse tallene gjøres ved å bruke de vanlige reglene for algebra, forenklet med bokstaven de som om det var enmåleenhet og huske det de × de = -1.
Ved addisjon og subtraksjon mellom to imaginære tall er resultatet også et imaginært tall, for eksempel 4i + 8i = 12i og 5i – 3i = 2i. Tvert imot, ved divisjon og multiplikasjon oppnås enkle reelle tall, for eksempel 6i ÷ 3i = 2 og 5i × 3i = 15 × i × i = 15 × (-1) = -15.
Når i stedet la oss legge det sammen imaginære tall til reelle tall får vi det som kalles komplekse tall (som inneholder både reelle og imaginære tall), for eksempel 5 + 3i det er et komplekst tall og dens imaginære del sies å være 3, mens 5 er dens reelle del. Komplekse tall er ettutvidelse av reelle tall som inkluderer imaginære tall, litt som rasjonelle tall er utvidelsen av naturlige tall (de som brukes til telling) som også inkluderer brøker.
Hvorfor eksisterer disse matematiske enhetene og hva er de for?
«Bruken av imaginære tall spenner fra utvinningen av kvadratrøttene til negative størrelser til den matematiske formuleringen som er nødvendig for å beskrive elektromagnetisme, elektroteknikk, fluiddynamikk og kvantesystemer. Men hvor gjør imaginære tall og derfor kompleksene? Og hvorfor ble de oppfunnet?
På 1500-tallet den italienske matematikeren Girolamo Cardano han kom over denne typen tall i et forsøk på å finne to tall som når de ble lagt sammen gjorde 10 og multiplisert sammen ble 40. Cardano fant ut at løsningen ble gitt to tall, tallet som består av 5 lagt til kvadratroten av -15 og tallet som består av 5 minus kvadratroten av -15, der «kvadratroten av -15» betyr «det tallet som når det kvadreres er -15».
Disse to tallene lagt sammen gir 10 og multiplisert sammen gir 40, regnestykket kan gjøres ved å late som om kvadratroten av -15 er et tall som alle de andre når det gjelder operasjonsreglene.
Cardano så kvadratrøttene til negative tall som nyttige enheter for å løse matematiske problemer, men ikke gjeldende for den virkelige verden, som det fremgår av uttalelsen hans:
«Slik skrider aritmetisk subtilitet frem hvis mål, som de sier, er like raffinert som det er ubrukelig.»
Til tross for dette fant Cardano seg nødt til å bruke imaginære tall også for løse ligningene av tredje grad, og bruker dem derfor som et verktøy for å gi et viktig bidrag til fremme av matematisk kunnskap, i så fall viste de imaginære tallene seg å være nyttig, selv om det ikke er i begrepets konkrete betydning.
De imaginære tallene, som skylder navnet sitt Descartes (1600-tallet) som trodde de bare var tall som kunne tenkes, men som ikke eksisterte i virkeligheten, ble derfor født som en slags kunstgrep nyttige for å løse ligninger, men de ble ikke fullt ut akseptert av matematikere på flere århundrer. Den berømte fysikeren og matematikeren Isaac Newton sammenlignet disse tallene med de problemene som ikke hadde en fysisk eller geometrisk reell løsning, mens hans like berømte rival, Gottfried Wilhelm von Leibniz, refererte til tallet de som en
den amfibie mellom væren og ikke-vesen som vi kaller den imaginære roten til negativ enhet
De komplekse tallene, og med dem de imaginære tallene, funnet fulle godkjennelse bare blant matematikerebegynnelsen av den 19 århundre da en måte å representere dem på det kartesiske planet ble utviklet og spredt (takket være arbeidet til dansken Caspar Wessel, sveitseren Jean-Robert Argand og tyskeren Carl Friedrich Gauss). Siden den gang har disse tallene blitt en fullverdig del av matematikk og andre mer konkrete vitenskaper, for eksempel fysikk, så mye at tallet de den finnes også i Eulers identitet, som regnes som den vakreste ligningen i verden (se figuren nedenfor), og som er knyttet til studiet av konkrete fenomener som eksponentiell vekst og bølgefenomener.
0 det er det eneste tallet som samtidig tilhører både settet av reelle tall og imaginære tall.
