Vi er på fest og innser at hver gjest har nøyaktig en felles venn med annenhver deltaker, så lurer vi på om det er noen som kjenner alle gjestene. Svaret er ja, det Vennskapsteorem – ikke å forveksle med vennskapsparadokset – et teorem om grafteori som først ble bevist i 1966 av tre ungarske matematikere Paul Erdős, Alfréd Rényi og Vera T. Sós. La oss se hvordan teoremet fungerer når det gjelder et parti og hva dette har med vindmøller å gjøre.
Situasjonen er denne, vi befinner oss på en fest der en bestemt situasjon oppstår:
hver gjest har nøyaktig én venn til felles med alle andre gjester, verken mer eller mindre.
Vennskapsteoremet forteller oss da det
blant alle gjestene er det akkurat en som er en venn av alle gjestene.
La oss se, med en eksempel, hvorfor dette skjer. Anta at de var de første som ankom festen Marta, Edo og Marcoog at alle 3 er venner med hverandre så tatt to og to har de nøyaktig én venn til felles: Marta og Edo har Marco som felles venn, Marco og Edo har Marta som felles venn, Marta og Marco har Edo som felles venn. Ved å bruke språket til grafteori vi kan beskrive denne situasjonen med et opplegg (se bildet nedenfor) der vennskapet mellom to mennesker er representert av en linje som forener dem.
Et skjema av denne typen kalles en graf, posisjonene okkupert av tre venner de kalles hjørner (eller noder) og linjene som forbinder dem – deres relasjoner – de kalles buer (eller kanter).
Men la oss gå tilbake til festen, blant deltakerne er det også Vale, som er en venn av Marco, men hun kan ikke også være en venn av Marta fordi, hvis hun var det, ville Vale og Edo hatt to venner til felles (se figuren under), nemlig Marco og Marta, mens på festen vår kan to deltakere maksimalt ha en venn til felles. Av samme grunn kan ikke Vale være venn med Edo.
På dette tidspunktet er det imidlertid et annet problem: Vale og Marco har ingen venner til felles, så det må være minst én annen deltaker i festen, som må være en venn av både Vale og Marco. Heldigvis deltar Luca, en felles venn av Vale og Marco, som ikke er en venn av verken Edo eller Marta, i festen vår. Luca kan faktisk ikke være en venn av Edo fordi ellers ville han ha to venner til felles med Marco, nemlig Edo og Vale, og av samme grunn kan han ikke være en venn av Marta.
Hvis det ikke var andre deltakere på festen vår, kunne derfor situasjonen bare være den på bildet nedenfor der en deltaker, Marco er alles vennog skjemaet (eller grafen) som representerer situasjonen består av 2 trekanter med felles toppunkt.
Hvis vi nå ser for oss å legge til to deltakere til etter samme regler, som vi gjorde for Carla og Luca, kan vi ikke gjøre annet enn å legge til en ny trekant til grafen som deler toppunktet som består av de andre trekantene. Merkeden eneste invitert venn av alle (se figuren nedenfor).
Grafen vi fikk er bygd opp av tre trekanter som deler et toppunkt plassert i midten og ved å fortsette å legge til festdeltakere måtte vi legge til nye trekanter, alle med samme toppunkt til felles, og Marco ville fortsette å være alles eneste venn. Formen på grafen, som vi kan se, minner litt om bladene til en vindmølle: ifølge vennskapsteoremet kan faktisk ethvert parti som bekrefter de samme reglene som vårt parti representeres med en vindmølleformet graf.
