Der Klein flaskebeskrevet for første gang av den tyske matematikeren Felix Klein i 1882, er en overflate, det vil si en todimensjonal geometrisk form slektning til smultringen, som imidlertid ikke er orienterbar, har faktisk bare ett ansikt og selv om det virker lukket for oss den har ikke en innside og den har ikke en ytreakkurat som den mer kjente Möbius-stripen. La oss se hvordan den er laget og forklare dens merkelige egenskaper.
Klein-flasken er en overflate, slik geometriske objekter som den (tomme) sfæren og planet kan være. Dette er geometriske former av dimensjon 2, de abstrakte versjonene av konkrete objekter som ballen, og papirark. Klein-flasken er imidlertid litt merkelig i forhold til disse overflatene. Det er en geometrisk figur som kan sees som en slags smultringi matematiker bull. For å bygge en smultring kan vi ta et rør, bøye det litt og slå sammen endene slik at de passer sammen som vist på figuren under.
Alternativt kan vi, som i den nedre delen av figuren, prøve å skyve de to endene over hverandre, til de matcher, og skaper en Klein flaske. For å utføre denne operasjonen ser det imidlertid ut til at det ene stykket av røret nødvendigvis må passe inn i det andre, og faktisk involverer alle representasjoner av Klein-flasken at en del av røret passer inn i den andre, som i figuren nedenfor.
Faktum er imidlertid at sannheten Klein flaskeforutser ikke at dens deler trenger inn i hverandre, i motsetning til det som sees i alle dens representasjoner: men hvordan er dette mulig?
Realiteten for å bygge denne overflaten 3 dimensjoner er ikke nok, men 4 er nødvendigmen våre grafiske (eller skulpturelle) representasjoner kan ikke gå utover den tredje dimensjonen: dette er noe som er vanskelig å forestille seg, men som i matematikk ikke er så uvanlig. La oss prøve å forstå det enkleste eksemplet på en sirkel og et segment tegnet på et papirark som i figuren nedenfor. For å koble sammen de to endene av segmentet, som forblir på arkets plan, må vi nødvendigvis krysse omkretsen (se den øvre delen av figuren). Hvis vi i stedet (se den nedre delen av figuren) lar endene av segmentet komme ut av papirarket og gå over omkretsen ved å passere over det, så er det mulig å sammenføye de to endene uten at det trenger inn i hverandre. Ved å flytte i 3 dimensjoner i stedet for to klarte vi å koble sammen de to endene.
En lignende ting skjer for Klein-flasken, bortsett fra at i stedet for fra 2 til 3 dimensjoner må vi gå fra 3 til 4 dimensjoner. Dette er grunnen til at alle representasjonene av Klein-flasken som vi ser, bilder eller skulpturer, er feil, siden de alltid involverer gjensidig gjennomtrengende deler.
Denne dog det er ikke det eneste rart med Klein-flaskengitt at, i motsetning til kuler, sylindre og fly, er det én ikke-orienterbar overflate. Hvis vi tar et papirark, kan vi faktisk alltid farge den ene siden av en farge og den andre av en annen farge, uten at de to forskjellige fargene berører bortsett fra ved kanten av arket.
På samme måte kan vi tenke oss å farge innsiden av en ball med én farge og utsiden med en annen, uten at de to fargene noen gang berører hverandre. Dette er ikke mulig med Klein-flasken, og det er derfor matematikere sier det den er ikke orienterbar i motsetning til kuler og fly som er i stedet orienterbare overflater.
Det er derfor en ikke-orienterbar todimensjonal overflate akkurat som Möbius-stripen, en figur berømt nettopp fordi den ikke har innside og utside og kan sees på som en vei som aldri tar slutt. På Möbius-stripen er det mulig å starte fra et punkt og gå uten å krysse kantene, gå tilbake til samme punkt og finne deg selv på motsatt side av overflaten. Hvis du da fortsetter å gå, alltid fremover, kan du gå tilbake til startpunktet, på samme side av beltet. De Möbius stripefaktisk, den har ikke to sider, men bare énakkurat som Klein Bottle. I figuren nedenfor har vi sporet stien til en maur som går, går, går forbi hva det ser ut som utsiden av overflaten til hva det ser ut som innsiden av overflaten. Spesielt kan du se hvordan den passerer to ganger gjennom samme punkt på flasken (topp), en gang på den ene siden av overflaten og en gang på den andre.
Hvis mauren gikk på en kule, kunne den imidlertid ikke gå fra utsiden til innsiden bare ved å gå på den. I praksis i tilfelle av Klein flaske vi kan egentlig ikke snakke om ytre og indrefordi de to sidene av overflaten er forbundet: overflaten har bare én side, ikke to, det er derfor vi brukte ordet «ser det ut til» refererer til utsiden og innsiden. Det er litt som om Klein-flasken var en kantløs versjon av Möbius Stripog i en viss forstand er det akkurat slik fordi hvis vi kutter den i to deler (se figuren nedenfor), langs symmetriplanet, får vi to Möbius-strimler som igjen, limt langs kanten, gir liv til en Klein-flaske.
