La oss forestille oss et langt sirkulært spor 1 km drevet av et visst antall løpere som elsker å løpe alene, så hver løper med sin egen konstante hastighet, forskjellig fra alle andre: før eller siden vil alle løpere klare å finne seg selv løpe alene i hvert fall for en liten stund? Dette er Ensom løper matematisk problemog hvis antallet løpere er mindre enn eller lik 10, er svaret absolutt bekreftende, men ifølge Formodning om ensom løperbør det også være for større tall. La oss forklare problemet og se hvor langt vi er med antagelsen og hvorfor vi, i det minste (eller bare) delvis, kan kalle det teorem.
Hva er det matematiske problemet med ensom løper
Situasjonen til problem med ensom løper er dette:
Det er et visst antall løpere som begynner å løpe alle sammen langs en sirkelbane, bare at hver har sin egen hastighet, konstant, forskjellig fra alle de andre og man lurer på om hver løper før eller siden vil klare å løpe alene i minst noen få øyeblikk.
Det som genereres er et ganske komplekst scenario (som vist i videoen nedenfor) der i utgangspunktet raskeste løper han beveger seg bort fra den tregeste og de andre følger ham til rundingen begynner: på det tidspunktet nærmer de raskeste løperne seg til den tregeste, for å overta dem og deretter bevege seg unna igjen, noe som gir opphav til en serie med rotasjoner der hver løper sliter med å forbli alene.
I dette scenariet oppstår spørsmålet om alle løpere før eller siden vil være i stand til det bli alene i hvert fall for en stund. Svaret ser ut til å være ja, i hvert fall iflg løperens formodning ensom som sier det
Hver løper, før eller siden, vil finne seg selv minst én gang langt nok unna hver annen løper.
Men hva menes med ganske fjernt? I teorien kan vi bruke forskjellige kriterier for å fastslå på hvilken avstand to løpere kan betraktes som langt fra hverandre, men for denne formodningen bruker vi et kriterium som er kompatibelt med ideen om enrettferdig oppdeling av banen. For eksempel, hvis løperne var det, og hvis de på et gitt øyeblikk alle var arrangert like langt (som i figuren nedenfor), ville de hver finne seg selv å ha 1/4 fri bane foran seg og 1/4 fri bane bak seg. Dette er en optimal situasjon der alle løpere kan betraktes som ganske alene.
Det er klart at jo mer antallet løpere øker, jo mer reduseres den delen av banen som hver kan håpe å ha tilgjengelig for å løpe alene, men etter resonnementet om rettferdig fordeling, hvis vi har n løpere vi kan vurdere to løpere som er ganske fjernt fra hverandre når de er i en avstand som tilsvarer lengden på spor delt på npå matematisk 1/n av sporet.
Formodningen kan altså uttrykkes slik
Gitt n løpere som løper i et sirkulært spor med lengde 1, vil hver løper før eller senere finne seg selv minst én gang minst 1/n avstand fra hver annen løper.
Beviset på formodningen og den siste utviklingen
Denne formodningen ble utdypet i abstrakte termer av Den tyske matematikeren Jörg Michael Wills på 1960-tallet og ble omformulert slik vi kjenner det, med henvisning til løpere, av en gruppe matematikere i 1998 av forskjellige nasjonaliteter (W. Bienia, L. Goddyn, P. Gvozdjak, A. Sebő og M. Tarsi). Grunnen til at vi fortsetter å kalle det en formodning er nettopp fordi vi ennå ikke er sikre på at det er sant, ellers ville vi kalt det et teorem. I matematikk en formodning det er et utsagn som vi tror er sant, som vi ikke har bevis eller motbevis for (eller moteksempler). I dette tilfellet kan vi imidlertid snakke om en formodning som delvis er et teorem, gitt at det er bevist for et antall løpere opp til 10.
Spesielt de siste fremskrittene går tilbake til slutten av 2025 og skyldes Tanupat Trakulthongchaien student fra University of Oxford (UK) som ved hjelp av datamaskiner klarte å demonstrere gjett for 9 og 10 løpere. Tanupat Trakulthongchai ble inspirert av arbeidet til den franske matematikeren M. Rosenfeld som bare noen få måneder tidligere, igjen i 2025, hadde demonstrert gyldigheten av formodningen for n=8.
