Claudes Fable 5-modell, den kunstige intelligensen utviklet av Anthropic, har funnet et eksempel som tilbakeviser Jacobiansk formodninget matematisk problem som har vært åpent siden 1939. Det ble annonsert Levent Alpögetyrkisk-amerikansk matematiker. Mens verden så på VM-finalen, brukte Alpöge Fable 5 for å utforske problemet og identifisere et eksempel som kunne avkrefte formodningen, det som i «matematikk» kalles «moteksempelKort tid etter delte han resultatet på X, og publiserte også moteksemplet som ble funnet, slik at hvem som helst kunne bekrefte det.
Oppdagelsen er en del av en serie resultater innen matematikk og teoretisk fysikk som nylig ble oppnådd ved hjelp av AI. Blant disse er nedleggelsen av den teoretiske representasjonen av «jamming» og beviset på Erdős’ problem 1196. I motsetning til tidligere resultater, har imidlertid så langt Detaljer er ennå ikke offentliggjort om hvordan Alpöge veiledet AI-modellen i å generere moteksemplet og hvor lang tid det tok AI å løse det. Modellen som ble brukt, Fabel 5er modellen mer avansert kommersielt distribuert så langt av Anthropic. Ifølge selskapet utkonkurrerer den tidligere modeller i de fleste AI-benchmarks, fra programvareteknikk til vitenskapelig analyse, fra datasyn til komplekse resonnementer på dokumenter.
Hva er den jakobianske formodningen
EN formodning det er en matematisk idé det ser ut til å være santmen som ingen ennå har klart å bevise eller motbevise. Den jakobiske, spesielt, angårinverterbarhet av funksjoner og det er ekstremt relevant innen mange forskjellige områder av matematikk, fysikk og ingeniørfag.
En funksjon er en kart At koble til to sett og relaterer dens elementer. For å forstå hvorfor inverterbarheten til en funksjon er viktig, la oss ta et eksempel med utgangspunkt i kryptografi, grenen av matematikk som studerer hvordan man kan beskytte informasjon. La oss forestille oss at det er en funksjon som forbinder settet med ukrypterte meldinger med det av krypterte meldinger og som forvandler meldingen «Hei, hvordan har du det?» i sekvensen «Dlbm, dpnf tubh!».
Hvis vi leverer vår krypterte melding til mottakeren, for å forstå hva vi har skrevet, vil han trenge en funksjon som transformerer «Dlbm, dpnf tubh!» igjen i «Hei, hvordan har du det?». Denne funksjonen forbinder settet med krypterte meldinger med ikke-krypterte meldinger og erinvers av startfunksjonen vår. Uten den, vår beskjed ville forbli ubegripelig.
Ikke alle funksjoner er imidlertid inverterbare, og det er her den jakobianske formodningen kommer inn.
Den jakobiske formodningen forteller oss at hvis noen forhold funksjonene respekteres polynomer (dvs. de som er skrevet slik: f(x) = x3 eller så f(x) = 2x+1) er inverterbar og de er fortsatt polynomfunksjoner. For eksempel er funksjonen som tar et hvilket som helst tall (for eksempel 2) og assosierer det med sin terning (i dette tilfellet 8), inverterbar og har som sin invers funksjonen som tar et hvilket som helst tall og assosierer det med sin terningsrot.
Denne formodningen ble holdt plausible I flere tiår har de beste matematikere prøvd å finne et bevis. Det ble ansett som så viktig at matematikeren Stephen Smale, vinneren av Fields-medaljen, i 1998 inkluderte det blant de matematiske problemene i det nye århundret.
Moteksemplet funnet av Fable 5
Etter nesten nitti år med å prøve å bevise det, har Fable 5 funnet en funksjon som oppfyller alle nødvendige betingelser ved gjetning, men den er ikke inverterbar. Denne funksjonen kobler to tredimensjonale rom sammen og er eksemplet som motbeviser formodningen i rom med tre eller flere dimensjoner.
Funksjonen, skrevet i Alpöges tweet, er som følger:
Denne funksjonen tar en trippel av verdier, indikert med (x, y, z), og transformerer den til en annen trippel oppnådd gjennom tre uttrykk, angitt i bildet med de fargede boksene. For eksempel, hvis vi tar x=0, y=0 og z= -¼ og erstatter verdiene deres med formelen ovenfor, med litt matematikk får vi:
F(0; 0; -¼) = ( (1 + 0)3 *(-¼) + 0*(1+0)*(4+3*0), 0 +3*0*(1 + 0)2 * (-¼) + 3*0*(4+3*0), 2*0 – 3*0 – 0* (-¼) ) = (-¼, 0, 0).
Denne funksjonen assosierer derfor trippelen (0,0,-¼) med trippelen (-¼, 0, 0).
For å bevise at denne funksjonen ikke er inverterbar, brukte Fable en grunnleggende betingelse: for at en funksjon skal være inverterbar, ved hvert element i settet med avgang må matche ett og bare ett element av settet med Jeg kommer. Tilbake til forrige eksempel, om det er «Hei, hvordan har du det?» at «Hvordan er været i dag» ble kryptert i sekvensen «Dlbm, dpnf tubh!», den som mottar den krypterte meldingen ville ikke kunne få tak i den originale meldingen. Hvis flere forskjellige elementer transformeres til samme element, er det ingen unik måte å gå tilbake på og derfor er funksjonen ikke inverterbar.
For å demonstrere at funksjonen som er funnet ikke er inverterbar, er det derfor tilstrekkelig å finne flere elementer i startsettet som er koblet til det samme elementet i ankomstsettet. I dette tilfellet har Fable 5 funnet den tre forskjellige elementertrippelene (0, 0, -¼), (1, −3/2, 13/2) og (−1, 3/2, 13/2), som alle er assosiert til samme element: (-¼, 0, 0). Dette er nok til å demonstrere at funksjonen den er ikke inverterbar og utgjør derfor et moteksempel til den jakobianske formodningen i rom med tre eller flere dimensjoner.
For øyeblikket har ikke detaljene om hvordan Alpöge stilte problemet til Fable 5 eller prosessen fulgt av modellen for å komme frem til løsningen blitt offentliggjort. Imidlertid er denne prestasjonen annerledes enn andre nylige AI-suksesser innen matematikk. I dette tilfellet var den virkelige vanskeligheten ikke å bygge et langt og komplekst bevis, men utforske effektivt en stor plass av mulige funksjoner polynomer til en med de ønskede egenskapene er identifisert.
Dette antyder en ny potensiell bruk av AI i forskning: den kan vise seg å være verdifull, ikke bare for å bygge bevis, men for å effektivt søke etter moteksempler på formodninger som har vært åpne i flere tiår.
