De skinke sandwich teorem, demonstrert av matematikerne AH Stone og J. Tukey i 1942, forteller oss at hvis vi ønsker å dele et smørbrød med en annen person, vil det alltid være mulig å gjøre det med et enkelt kutt av kniven som deler seg, i ett hugg, nøyaktig halvveis gjennom hver del av smørbrødet. Vi forklarer teoremet i det tredimensjonale tilfellet og prøver å forstå hvorfor det fungerer ved å analysere en forenklet todimensjonal versjon. Til slutt, la oss se på en nysgjerrig en søknad av nivåteoremet politisk i forbindelse med valg.
Forklaring av hamsandwich-teoremet
La oss tenke oss at vi har en sandwich bestående av to brødskiverKanskje uregelmessig og forskjellige fra hverandre, med en skive skinke i midten er den plassert der litt tilfeldig og vi ser for oss at to spisegjester ønsker å dele smørbrødet så likt som mulig.
Å dele smørbrødet omtrent i to er enkelt, men ting blir komplisert hvis hver av de to gjestene vil nøyaktig halvparten av skinkenhalvparten av den myke toppen av bollen og halvparten av den knasende bunnen av bollen. Vel, den skinke sandwich-teorem han forteller oss at det er mulig å gjøre det, selv med et enkelt kutt, men han forteller oss dette ved hjelp av matematiske termer. For å forenkle litt, og behandle brødskivene og skinken som 3 geometriske figurer, kan det uttrykkes mer eller mindre slik:
Datoer 3 figurer i rommet, er det et plan som halverer (deler i to) nøyaktig alle tre figurene.
For bedre å forstå hva det er, kan vi se på den todimensjonale versjonen av denne teoremet, også kjent som pannekake teoremsom har to flate skikkelser som hovedpersoner (pannekaker!) og ifølge hvilke
2 geometriske figurer i planet kan hver deles nøyaktig i to (i to deler med samme areal) med en enkelt rett linje.
I dette tilfellet snakker vi om 2 figurer, i stedet for 3, fordi ham sandwich-teoremet refererer til et antall figurer som ikke overstiger antall dimensjoner som vurderes: i rommet snakker vi om 3 figurer, i planet snakker vi om 2 figurer.
I figuren under ser vi en forenklet versjon hvor en av de to pannekaker det er en sirkel. På venstre side ser vi en rett linje som deler sirkelen i to men som går til venstre for den andre figuren.
La oss nå gjøre det sakte roter den rette linjen rundt midten av sirkelen (som i figuren): vi ser hvordan den rette linjen, som fortsetter å dele sirkelen i to, begynn å kutte den andre figuren slik at til å begynne med er en liten del av figuren til venstre for den rette linjen mens en større del er til høyre for den rette linjen. Fortsetter med rotasjonen av linjen, øker delen av figuren som ligger til venstre for linjen mer og mer, til til slutt hele figuren er plassert til venstre for linjen (se høyre del av figuren ovenfor). Situasjonen er nå snudd i forhold til begynnelsen og under denne prosessen der den rette linjen går gjennom den andre figuren det må nødvendigvis være et øyeblikk hvor han deler det nøyaktig i to.
Dette er mer eller mindre tanken bak teoremet, men hvordan lager du det riktige snittet som deler de to pannekakene, eller skinkesmørbrødet, nøyaktig i to? Teoremet gir oss dessverre ikke noe svar og er faktisk en eksistensteorem det der sikrer at det finnes en løsning på problemet men det forteller oss ikke hva det er.
En applikasjon til politikkens verden
I noen stater, når valg, landet er delt inn i distrikter og hvert distrikt velger sin egen kandidat, men måten landet er delt inn i distrikter kan påvirke utfallet av valg.
La oss ta et eksempel, vurdere en tilstand der det bare er 6 tilhengere av Miljøpartiet De Grønne Og 2 sympatisører av det lilla partietbosatt i forskjellige områder av landet. Anta at territoriet er delt inn i to distrikter, det mot nord og det mot sør (se figuren nedenfor til venstre), og at hvert distrikt velger en kandidat: i dette tilfellet velger Nord-distriktet enstemmig en grønn kandidat og Sør-distriktet velger med flertall, 2 mot 1, en lilla kandidat. Totalt velges en grønn og en lilla representant, som om de grønne og lilla velgerne var like i antall.
Men ser vi på det totale velgertallet i landet skjønner vi at flertallet er klart for Miljøpartiet De Grønne (6 mot 2): Man spør seg om det er en distriktsinndeling som gjenspeiler denne situasjonen. Det er nettopp her pannekakesetningen spiller inn, takket være at vi vet det det er mulig å dele staten på en måte At sympatisørene av de 2 partiene er fordelt likt mellom de to distriktene, halvparten grønn i det ene distriktet og halvparten i det andre, halvt lilla i det ene distriktet og halvt i det andre. I vårt tilfelle (se figuren over, til høyre) er det nok å dele staten inn i øst- og vestdistrikter: i dette tilfellet i begge distriktene ville de grønne kandidatene vinne valget med 3 stemmer mot 1 og resultatet av valget, med to grønne kandidater valgt, ville gjenspeile det samlede flertallet.
