Har du noen gang lagt merke til at når du bretter en skive pizza, går ikke spissen praktisk talt nedover, mens den nesten alltid gjør det hvis du ikke bretter skiven? Årsaken ligger ikke i noe fysisk vurdering, men er et eksempel på et matematisk resultat knyttet til Kurvatur av overflater: Vi snakker om Teorema egregium av det matematiske geniet Carl Friedrich Gausssom viser hvordan vi ikke kan bøye en overflate som vi vil hvis vi ikke vil risikere å bryte den. La oss se hva teoremet sier og hvordan det kan hjelpe oss å spise pizza, passere gjennom chips, bananer og appelsiner.
Hva er krumningen av en overflate fra et matematisk synspunkt (og hva du skal gjøre med pizza)
Til å begynne med matematikere ser de pizza som en flatedet vil si et objekt med størrelse to, som kan være flatt som et papirark eller ha en buet form som brikken på figuren nedenfor som er nysgjerrig både oppover og nedover.
Vi tar det sentrale punktet med potetbrikken og forestiller oss et vann som går rett fra den ene høye enden av brikken til den andre høye enden som passerer nøyaktig for det punktet. Selv om myren går rett, utenfra ser vi den gå en buet linje, for eksempel den grønne av figuren over. Det samme skjer hvis mauren går rett fra den ene lave enden av flisene til den andre, langs den røde buede linjen på figuren. De to kurvene som er sporet av myren møtes på ett punkt, men er ikke de samme: den ene vender opp og den andre nedover. For å skille dem, som matematikk gjør, kan vi si at den ene av de to er negativ og den andre er positiv (nei, det er ikke et spørsmål om høyt lavt, og i dette spesifikke tilfellet kan vi snu de to tegnene, så lenge de er forskjellige fra hverandre).
Hver gang mauren går på en overflate går den gjennom en ulempe, så mye eller lite, i en eller annen retning, avhengig av overflatenes form. I figuren nedenfor ser vi tilfellet med en appelsin der de to linjene begge er positive fordi begge er buede mot midten av appelsinen, de to kurvene er ganske like, men dette er ikke tilfelle av de som er sporet av vår anthole på bananen.
Når det stykke av en liten omkretsmens den positive linjen ser ut til å være en stykke av en mye større omkrets. For å beskrive hvor mye en linje er buet, refererer matematikerne til lengden på strålene til disse imaginære omkretsene, og klarer dermed å Beskriv Kurvatur av en linje med et tall, som kan være positiv eller negativ, stor eller liten.
Det er imidlertid et problem, hvis vi tar et poeng på en overflate, som for bananen på figuren nedenfor, kan vi spore (alltid gå rett som en maur!) Mange forskjellige linjer, som generelt kan være mer eller mindre buede.
Men hvis vi ønsker å fastslå hvor buet bananen er på det tidspunktet, hvilke av disse linjene må vi vurdere? Det er uendelig, vi kan ikke analysere dem alle! Intuisjonen til den tyske matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Det var nok Velg to, linjen med den største krumningen og den med den mindre krumningen, og multipliser de to krumningene mellom demog dermed innhente et enkelt tall for hvert punkt på overflaten Kurvatur av Gauss.
Med dette kan vi enkelt etablere om en overflate har en positiv, negativ eller ingenting krumning. For eksempel i tilfelle av chipsiden det er begge linjer med positiv krumning og linjer med negativ krumning, Kurvatur av Gauss På det tidspunktet er det negativ Fordi det estimeres ved å multiplisere et negativt og et positivt antall sammen, og som du vet «mer for mindre det gjør mindre«. Det samme gjelder poenget vi tok på overflaten av bananen. Når det gjelderoransje I stedet har vi en Kurvatur av Gauss Positiv siden alle linjer har positiv krumning.
Den enkleste saken er den av flate overflatersom en bord eller a papirarkhvilken linje vi sporer rett (ja, alltid går som en maur) Dette er rett også fra utsiden og derfor sin egen Kurvatur er ingentingfølgelig Kurvatur av Gauss av et ark eller et bord er bare 0: Hvem ville noen gang vente på ham?
Hva Gauss ‘teorema egregium sier
Vel, vi så hva Kurvatur av Gaussmen dette forteller oss fortsatt ikke hvorfor pizzaen ikke kollapser pluss når vi bretter den. Det kommer til oss igjen Gausssom har vist et teorem, definert av ham Teorema egregiumifølge hvilken
Hvis vi bretter en overflate uten å rive den, uten å forlenge den og uten å strippe den, endres ikke krumningen av Gauss
Fra et konkret synspunkt forteller teoremet oss det Hvis vi prøver å knuse brikken på bordet, må dette nødvendigvis bryte: Faktisk har brikken en negativ krumning, hvis den kan flate ut på bordet, bør dens krumning bli null, men dette, ifølge teoremet, kan ikke skje med mindre det er brudd. Og her kan vi endelig forklare hva som skjer med pizza.
Som Gauss teorem hjelper oss å spise pizza
En skive pizza kan sees på som en flat trekantet overflate, så på hvert punkt er krumningen av Gauss verdt null. Når vi løfter skiven ved å bare holde den fra kanten, bøyer dette uunngåelig nedover, men dette motsier ikke teoremet egregium fordi krumningen forblir null: linjen som følger folden har null krumning, mens alle de andre er positive, og null for et positivt antall gjør alltid null (se figur nedenfor).
Tilsvarende selv når vi bretter kantene på pizzaen oppover, forblir krumningen av Gauss null: for punktene til den buede delen passerer en rett linje, med null krumning, og mange buede linjer oppover med negativ krumning (se figur nedenfor), så produktet fortsetter å være null. Hvis pizzaen brettet ned enda ned, vil den bli opprettet minst ett punkt som de passerer både buet oppover og buede linjer nedover og krumningen av Gauss ville bli negativ («mer for mindre det gjør mindre«!): Dette for Teorema egregium Det er umulig, med mindre riv, og faktisk hvis vi prøver å gjøre det pizzarårene!
