Euklids demonstrasjon fra 2500 år siden

To, tre, fem og syv er primtall faktisk hver av dem er multiplum bare av tallet én og seg selv. Det er mange tall av denne typen og det er ingen formler som lar deg beregne alle, men hvor mange er det egentlig? Svaret på dette spørsmålet ble gitt oss allerede for 2500 år siden av den greske matematikeren Euclid, som demonstrerte at primtall er uendelige. La oss se hvordan vi kan sørge for at de virkelig er uendelige.

Hva er primtall

Et primtall er a

Naturlig tall, større enn 1, som bare er et multiplum av tallet én og seg selv.

Men hva betyr det? DE Naturlige tall – sagt på enklest mulig måte – er de uten desimaltegn som brukes til å telle (0, 1, 2, 3, 4 osv.) og som kan multipliseres sammen. Når vi multipliserer to naturlige tall får vi et annet naturlig tall som resultat, for eksempel 3×4=12 og det kan hende at noen multiplikasjoner gir samme resultat, faktisk 3×4=12, men også 2×6=12 og 1×12=12. Tallet 12 er derfor et resultat av forskjellige multiplikasjoner som ser forskjellige tall som hovedpersoner, 3 og 4, 2 og 6, 1 og 12 i seg selv. Med andre ord, 12 er et multiplum av 1, 2, 3, 4, 6 og 12 og finnes i multiplikasjonstabellene for alle disse tallene.

Ikke alle tall er imidlertid som 12. For eksempel kan tallet 2 bare oppnås som et resultat av multiplikasjonene 2×1 og 1×2. Kort fortalt er 2 bare et multiplum av 1 og 2 (seg selv) og finnes bare i multiplikasjonstabellene til 1 og 2: av denne grunn sies det at 2 er et primtall, i motsetning til 12 som ikke er primtall. I praksis tallene er enten primtall, eller er resultatet av multiplikasjonen av minst 2 primtallsom Grunnleggende teorem for aritmetikk.

Tallet 3 er også et primtall, faktisk er det bare resultatet av 3×1 og 1×3 og finnes ikke i noen annen multiplikasjonstabell. Men hvor mange andre tall av denne typen er det? Dette ser vi ved å hente inspirasjon fra demonstrasjonen som ble gitt av Euklid for rundt 2500 år siden.

Den kjente Euklids bevis ved selvmotsigelse

Primtall de er uendeligeog vi kan se dette ved å bruke en forenklet versjon av Euklids bevis. Tanken er denne, la oss forestille oss at vi kjenner alle de mulige tallene primtall, for eksempel kan vi late som om 2, 3 og 5 alle er primtall i verden og vi konstruerer et potensielt nytt primtall som ikke er et multiplum av noen av dem. For å gjøre dette, som foreslått av Euklid, La oss multiplisere alle primtallene våre sammen og legge til 1 få 2×3×5+1=31, et tall som ikke kan være et multiplum av 2, 3 eller 5, la oss se hvorfor.

Tallet 31 kan ikke være et multiplum av 2 fordi vi bare har lagt til 1 til tallet 2×3×5, som er et multiplum av 2, mens for å finne neste multiplum av 2 må vi legge til nøyaktig 2: tallene i multiplikasjonstabellen med 2 er faktisk 2 adskilt fra hverandre (2, 4, 6, 8, osv.). Av samme grunn kan ikke tallet 31 være et multiplum av 3, for fra 2×3×5 må vi legge til 3 for å få neste multiplum av 3, å legge til 1 er for lite. På samme måte kan vi si at 2×3×5+1=31 ikke engang er et multiplum av 5, men hvilke tall er det et multiplum av? I praksis er det to muligheter:

1. er i seg selv et primtall,
2. er et multiplum av minst to primtall som ikke er 2, 3 eller 5.

I begge tilfeller kan vi konkludere med det det er minst ett nytt primtallforskjellig fra 2, 3 og 5, som vi kan legge til listen over primtall og deretter gjenta prosedyren og finne et nytt nytt tall. I vårt spesifikke tilfelle er 31 faktisk et primtall, og vi kan bruke det til å gjenta prosedyren. Denne gangen tar vi utgangspunkt i 2, 3, 5, 31 og konstruerer tallet 2×3×5×31+1=931 som igjen ikke kan være et multiplum av 2, heller ikke av 3, heller ikke av 5, eller av 31 av samme grunner som før.

Tallet 931 er faktisk resultatet av multiplikasjonen 7×7×19, det er derfor et multiplum av 7 og 19 som i seg selv er primtall og som vi kan legge til i listen vår for å gjenta prosedyren ved å konstruere tallet 2×3×5×7×19×31+1 som ikke er et multiplum av noen av primtallene vi har listet opp.

I praksis, hver gang vi tror vi har funnet listen over alle mulige primtallmultiplisere dem sammen og legge til 1 vi kan finne et nytt tall som er primtall eller multiplum av minst to nye primtall som ikke var på listen: hvis primtallene var endelige med denne metoden kunne vi alltid finne nye, følgelig er de uendelige.